تبلیغات
مهندسین معماری و مسکن هورنوپاژ توس - تناسبات طلایی

جستجو گر سایت معماری

 

تناسبات طلایی

دوشنبه 16 اردیبهشت 1387   09:05 ق.ظ


نوع مطلب : پروژه و مقالات معماری ،

تركیب تناسب طلایی یا توالی فیبوناچی در ستاره‌ی‌ داوود توسعه یافته


هنرمندان قدیمی برای اضافه نمودن حس توازن و شكوه به یك صحنه ، مجسمه یا بنا مدتها از تركیب تناسب طلایی استفاده كرده‌اند . تركیب مزبور یك تناسب ریاضی بر اساس نسبت 1.618/1 بوده و در اغلب مواقع در طبیعت ، مثلا در صدف‌های دریایی و الگوی دانه‌های گل آفتاب‌گردان و یا ساختار هندسی بازوهای میله‌ای كهكشانهای مارپیچی موجود در كیهان یافت می‌شود . امروزه سرنخ‌هایی از این نسبت طلایی در نانو ذرات ( شاخه‌ی نانو تكنولوژی ) بدست آمده است .                 به ادامه مطلب رجوع کنید

   در واقع هم در عالم خرد و هم در عالم كلان این تناسب بخوبی قابل شناسایی است . به هر حال به كار بردن این نسبت در طراحی‌های دستی و رشته‌های هنری كار راحتی نمی‌باشد ، برای اینكه هرگز نمی‌توان به مركز دوران مارپیچ رسید و این نقطه ، مركزی نامعلوم و غیر قابل دسترس است و تا بی‌نهایت ادامه می‌یابد . به علت سهولت در ترسیم‌ها و كارهای عملی ، نسبت 1.6/1 در نظر گرفته می‌شود .

برای مشاهده بهتر عکس رو آن کلیک کنید


                   
عكس‌های فوق مربوط به صدف‌های دریایی ، حلزون شنوایی گوش ، یك گردباد و یك كهكشان است



در گل آفتاب‌گردان ، امتداد مسیر دوران مارپیچ طلایی یا فیبوناچی در هر دو جهت ساعت گرد و پاد ساعت گرد مشاهده میشود .


مستطیل طلایی ویژه



دنباله‌ی فیبوناچی و عدد طلایی چیست ؟ 
                         
لئوناردو فیبوناچی ایتالیایی تبار اهل پیزا حدود سال 1200 میلادی مساله‌ای طرح كرد : فرض كنید كه یك جفت خرگوش نر و ماده در پایان هر ماه یك جفت خرگوش نر و ماده جدید به دنیا بیاورند ... اگر هیچ خرگوشی از بین نرود ، در پایان یك سال چند جفت خرگوش وجود خواهد داشت ؟ البته در این مسئله می‌بایست قواعد و اصول فرضی و قراردادی زیر مراعات شوند !

" شما یك جفت خرگوش نر و ماده دارید كه همین الآن متولد شده‌اند .
خرگوشها پس از یك ماه بالغ می‌شوند .
دوران بارداری خرگوشها یك ماه است .
هنگامی كه خرگوش ماده به سن بلوغ می‌رسد حتما باردار می‌شود .
در هر بار بارداری خرگوش ماده یك خرگوش نر و یك ماده می‌زاید .
خرگوش‌ها تا پایان سال نمی‌میرند . "

او برای حل این مسئله به یك سری از اعداد یا بهتر است بگوییم به یك دنباله رسید كه عبارت بود از ... ,0،1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 كه در این دنباله هر عددی ( به غیر از صفر و یك اول ) حاصل جمع دو عدد قبلی خودش می‌باشد ، به طور مثال 3+5=8 یا 1+2=3 و .....

علت بر اینكه در پایان ماه اول ، جفت اول به بلوغ می‌رسد و در پایان ماه دوم بعد از سپری كردن یك ماه بارداری ، یك جفت خرگوش متولد میشود كه جمعا دو جفت خرگوش خواهیم داشت ، در پایان ماه سوم جفت اول یك جفت دیگر به دنیا می‌آورد ولی جفت دوم به پایان دوران بلوغ خود میرسد كه در كل سه جفت خواهیم داشت در پایان ماه چهارم جفت اول و جفت دوم وضع حمل می‌كنند و تبدیل به چهار جفت میشوند و جفت سوم به بلوغ می‌رسد و در كل پنج جفت خواهیم داشت و الی آخر كه در پایان ماه دوازدهم تعداد 233 جفت خرگوش خواهیم داشت . 

                 

توسعه‌ی هندسی این دنباله یا سری از اعداد : 

                    


این مستطیل را ، مستطیل فیبوناچی نیز می‌نامند . 


      

     

برای رسم مارپیچ طلایی یا فیبوناچی از راس ( گوشه‌ی ) هر مربع یك كمان به شعاعی برابر ضلع آن مربع رسم می‌كنیم . به این مارپیچ بدست آمده ، اسپیرال لگاریتمی هم گفته میشود . 

   


در رسم فوق دنباله را از عدد 20 شروع كرده‌ایم یعنی سری اعداد 20،20،40،60،100 ، در واقع نسبت عرض مستطیل به طول آن را 1.6/1 در نظر گرفته‌ایم . رسم فوق با تقریب 100.000.000/1 توسط نرم‌افزار اتوكد اندازه گذاری شده است و طریقه رسم به حد كافی واضح و روشن می‌باشد و نكته جالب توجه اینكه برای رسم مارپیچ به این روش ، می‌بایست هفت كمان رسم شود كه عدد صحیح 12 برای شعاع كمان پنجم بدست می‌آید . مركز هر كمان با علامت جمع مشخص شده است .



            تصویر


به‌طور خلاصه با در نظر گرفتن تقاطع‌هایی كه خطوط با زاویه‌ی قائمه یكدیگر را قطع كرده‌اند ، میتوان مستطیل و مارپیچ طلایی فیبوناچی را در رسم توسعه یافته‌ی ستاره داوود رسم نمود . همانطور كه مشخص است اختلاف بسیار جزیی این رسم با رسم قبلی مشاهده میشود آنهم در كمانهای 5 ، 6 ، 7 به علت تغییر جزیی در قطرهای آبی رنگ و در تناسبات هندسی اختلافی وجود ندارد ، كه دال بر این موضوع است كه تناسب طلایی در رسم ستاره داوود توسعه یافته جاری می‌باشد و در مباحث بعدی توضیح خواهیم داد كه كلیه موجوداتی كه در آنها تناسبات طلایی دیده میشود ، تناسب خود را مدیون این ترسیم‌ها و ساختارهای هندسی در ستاره داوود توسعه یافته هستند .


               تصویر

در رسم فوق مستطیل و مارپیچ طلایی به مركز رسم ستاره داوود توسعه یافته انتقال داده شده است .



        تصویر

در رسم فوق مستطیل و مارپیچ طلایی به نقطه‌ی دیگری انتقال داده شده است .

اینك اگر در این دنباله ( 1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233 ) هر عدد را به عدد قبلی‌اش تقسیم كنیم یك چنین سری را بدست می‌آوریم :

1/1=1 ، 2/1=2 ، 3/2=1.5 ، 5/3=1.66... ، 8/5=1.6 ، 13/8=1.625 ، ....... ، 233/144=1.61805......

كه هر چقدر جلوتر برویم به‌نظر می‌آید كه به یك عدد مخصوص می‌رسیم . این عدد را عدد طلایی می‌نامند كه این عدد تقریبا برابر است با :

1.618033................



روش جبری برای بدست آوردن عدد طلایی :

مستطیلی به عرض 1 واحد و طول x را در نظر می‌گیریم مسلما x بزرگتر از 1 می‌باشد .

      تصویر

اینك باید مقدار x را چنان تعیین كنیم ( بدست آوریم ) كه اگر مربعی به ضلع 1 واحد را از این مستطیل جدا نماییم ، مستطیل بدست آمده‌ی كوچكتر ، متناسب مستطیل بزرگتر قبلی باشد ، یعنی x/1=1/(x-1) a به بیان ساده‌تر ، نسبت طول به عرض مستطیل اول برابر نسبت طول به عرض مستطیل بدست آمده ( ‌مستطیل دوم ) باشد كه با ضرب صورت در مخرج طرفین تناسب ، یك معادله درجه 2 بدست می‌آید یعنی x²-x-1=0 و با ریشه‌یابی این معادله به ریشه‌های 1.6180 و 0.6180- دست می‌یابیم .

روشهای هندسی برای بدست آوردن عدد طلایی :



     تصویر

اگر یك مثلث متساوی‌الاضلاع رسم كنیم ( مثلث بنفش ) و از مركز آن دایره‌ای رسم كنیم تا از سه راس آن مثلث عبور كند ( دایره‌ نارنجی ) و وسط دو ضلع مثلث را یافته و پاره خطی از آن دو نقطه تا محیط دایره ، رسم كنیم دو پاره خط با نسبت طلایی بدست می‌آید ( پاره خط زرشكی و سرخ آبی ) یعنی

69.2820323/42.81865077=1.61803398...........

رسم زیر روش دیگری برای رسم مستطیل طلایی ویژه و تناسبات طلایی ، و همچنین بدست آوردن عدد طلایی را نشان می‌دهد .


      تصویر


جهت رسم یك مستطیل طلایی به نسبت عدد طلایی ابتدا یك مربع به ضلع یك واحد كشیده سپس طبق شكل فوق وسط ضلع پایینی این مربع را پیدا می‌كنیم . سپس یك قوس با شعاعی به اندازه وسط ضلع پایینی مربع تا گوشه سمت راست بالا می‌كشیم تا طول مستطیل معلوم شود .



اهرام :

جالب است بدانیم كه نسبت ضلع بلندتر به ضلع كوتاه‌تر مستطیل طلایی كه نسبت طلایی نامیده می‌شود ، در بسیاری از طرح‌های هنری از قبیل معماری و خطاطی ظاهر می‌شود . مطابق تحقیقات انجام شده ، نسبت طول ضلع قاعده به ارتفاع در اهرام ثلاثه مصر ، برابر نسبت طلایی است . همچنین دیوارهای معبد پارتنون از مستطیل‌های طلایی ساخته شده است ! زیرا به اعتقاد سازندگان آنها ، مستطیل‌ها با نسبت‌های طلایی به چشم خوشایندتر هستند و این موضوع دال بر این واقعیت است كه این تناسبات هندسی در ذات انسان‌ها نیز شكل گرفته‌اند !


     تصویر

               تصویر

تصویر

تعریف ریاضی سری اعداد یا دنباله‌ی فیبوناچی و عدد طلایی ( فی Φ ) :


غیر از دو عدد اول ( 0 و 1 ) اعداد بعدی از جمع دو عدد قبلی خود بدست می‌آیند . اولین اعداد این سری عبارتند از :


۰,۱,۱,۲,۳,۵,۸,۱۳,۲۱,۳۴,۵۵,۸۹,۱۴۴,۲۳۳,۳۷۷,۶۱۰,۹۸۷,۱۵۹۷,۲۵۸۴,۴۱۸۱,۶۷۶۵,۱۰۹۴۶


این سری از اعداد به نام لئوناردو فیبوناچی ریاضیدان ایتالیایی نام گذاری شده‌ است . طبق تعریف :

تصویر

مقدار عددی حد فوق به عدد فی یا همان .......... 1.618033 می‌رسد . اگر عدد فی را بتوان دو برسانیم مثل این است كه یك واحد به عدد فی افزوده باشیم یعنی Φ²=Φ+1 و اگر عدد یك را بر فی تقسیم كنیم مثل این است كه یك واحد از عدد فی كم كرده باشیم یعنی :

1/Φ=Φ-1

عدد فی را در مبنای دوجینی میتوان به صورت 1.75 نوشت كه مقدار واقعی ، حقیقی و درستی جهت فی می‌باشد برای اینكه :

1+(7/12)+(5/12/12)=1.618055555555555555555..........

233/144=1.618055555555555555......

همانطور كه می‌دانیم عدد 233 توالی دوازدهم سری یا دنباله‌ی فیبوناچی است یعنی همان تعداد خرگوش‌ها در پایان ماه دوازدهم . و بدست آمدن عدد 1.75 در مبنای دوجینی برای مقدار فی بیانگر این موضوع است كه سیستم دوجینی از بعضی جهات راحت‌تر از سیستم دهدهی است . راحتی فوق اصولا از این حقیقت ناشی می‌شود كه تعداد مقسوم علیه‌های دوازده از تعداد مقسوم علیه‌های ده بیشتر میباشد . دوازده بر یك ، دو ، سه ، چهار ، شش و خودش بخش‌پذیر است . بنابراین بسیاری از محاسبات دستی در سیستم دوجینی تا حدودی ساده‌تر از سیستم دهدهی هستند ، عدد فی كه در مبنای دهدهی به صورت عددهای كسری متناوب در می‌آید در مبنای دوجینی چنین نیست و می‌توان به مقدار فیكس شده‌ی 1.75 دست یافت .

مایاهایی كه در خلال سالهای 2000 تا 900 قبل از میلاد ، ساكن آمریكای جنوبی بوده‌اند ، چنین به نظر می‌رسد كه برای رصد كردن حركات متغیر اجرام آسمانی ، اهرامی بنا نهادند و تقویم شمسی دقیقی وضع كردند . همچنین با محاسبات خود ، وقوع خسوف و كسوف را پیش بینی و مراسم قربانی كردن انسانها را تدارك می‌دیده‌اند و عقیده بر این داشتند كه این كار آنها خشم خدایان را از آنها برطرف می‌كند .

   تصویر

به یقین می‌توان گفت كه مطالب و موضوعات بسیار مهمی در علوم بشریت در زمینه‌ی ریاضیات ، هندسه و نجوم مفقود و از بین رفته است و فقط نشانه‌های تلخ و ناخوشایندی از آن دانسته‌ها در ساخته‌های دست بشر باقیمانده است كه در مباحث بعدی سعی خواهیم كرد این دانسته‌های از بین رفته را بازیابی نماییم . البته ما باید مابین علم و جنایت فرق قائل شویم .

سری فیبوناچی چه در ریاضیات چه در فیزیك و علوم طبیعی ، كاربردهای بسیار دیگری دارد ، ارتباط زیبای فاصله‌های خوش صدا در موسیقی ، چگونگی تولد یك كهكشان و ... كه در مطالب آینده راجع به آنها بحث خواهیم كرد .

این الگو را می توان در گلبرگ‌ها یا دانه‌های بسیاری از گیاهان مثلاً آناناس ، گل داوودی ، گل كلم ، میوه‌های كاج و ... مشاهده كرد .

خود انسان از ناف به نسبت فی تقسیم می‌شود . این نسبت نقش پیچیده‌ای در پدیده‌هایی مانند ساختار كریستال‌ها ، سال‌های نوری فاصله بین سیارات و پریودهای چرخش ضریب شكست نور در شیشه ، تركیب‌های موسیقی ، ساختار سیاره‌ها و حیوانات بازی می‌كند . علم ثابت كرده است كه این نسبت به راستی نسبت پایه و مبنای خلقت جهان است . هنرمندان دوره‌ی رونسانس عدد فی را یك نسبت الهی می‌دانسته‌اند .

از زمانی كه هنرمندان و معماران به عمد شروع به استفاده از نسبت طلایی كردند ، نشان داده شد كه مخاطبان شیفتگی و شیدایی بیشتری نسبت به كارهای آنها از خود نشان دادند . مستطیل‌های طلایی ، مانند نسبت طلایی فوق‌العاده ارزشمند هستند . در بین مثال‌های بی‌شمار از وجود این نسبت و یكی از برجسته‌ترین آنها مارپیچ های DNA است . این دو مارپیچ فاصله دقیقی را با هم براساس نسبت طلایی حفظ می‌كنند و دور یكدیگر می‌تابند .

در حالی كه نسبت طلایی و مستطیل طلایی جلوه‌های زیبایی را از طبیعت و ساخته‌های دست انسان به نمایش می‌گذارد ، جلوه دیگری از این شكوه وجود دارد كه زیبایی‌های تحرك را به نمایش می‌گذارد . یكی از بزرگ‌ترین نمادهایی كه می‌تواند رشد و حركات كاینات را نشان دهد ، اسپیرال طلایی است .

اسپیرال طلایی كه به آن اسپیرال لگاریتمی و اسپیرال متساوی‌الزاویه نیز می‌گویند هیچ حدی ندارد و شكل ثابتی است . روی هر نقطه از اسپیرال می توان به هر یك از دو سو تا بی‌نهایت حركت كرد . از یك سو هرگز به مركز نمی‌رسیم و از سوی خارجی نیز هرگز به انتها نمی‌رسیم . هسته‌ی اسپیرال لگاریتمی وقتی با میكروسكوپ مشاهده می‌شود همان منظره‌ای را دارد كه وقتی به اندازه هزاران سال نوری به جلو می‌رویم . دیوید برگامینی در كتاب ریاضیاتش خاطرنشان می‌كند كه منحنی ستاره‌های دنباله‌دار از خورشید كاملا شبیه به اسپیرال لگاریتمی است . عنكبوت شبكه تارهای خود را به صورت اسپیرال لگاریتمی می‌بافد . رشد باكتری‌ها دقیقاً براساس رشد منحنی اسپیرال است . هنگامی كه سنگ‌های آسمانی با سطح زمین برخورد می‌كنند ، مسیری مانند اسپیرال لگاریتمی را طی می كنند . عدد فی Φ عددی مربوط به خلقت پروردگار یكتا است .

اسب‌های آبی ، صدف حلزون‌ها ، صدف نرم‌تنان ، موج‌های اقیانوس‌ها ، سرخس‌ها ، شاخ‌های جانوران و نحوه قرار گرفتن گلبرگ‌های گل آفتاب‌گردان و چیدمان گل مروارید ، همه به صورت اسپیرال لگاریتمی است . گردباد و منظومه‌ها از نگاه بیرون كاملاً در مسیری به صورت اسپیرال حركت می‌كنند . طرح مطالب در این زمینه بسیار بسیار زیاد است كه اگر تمایل به ارایه آنها به دیگران دارید بهتر است آن را در این مبحث ( تاپیك ) قرار دهید تا سایرین هم مشاهده نمایند .

نوشته شده توسط : علی صنعتی